自控李亚普诺夫直接法中的判稳的V(x)怎么取？

自控李亚普诺夫直接法中的判稳的V(x)怎么取？

变量-梯度法 variablegradient method (6)。于是得v一户，，d，;+f x22剐么一冬对+二:。在 J 0 JO‘ l一ZxlxZ>o范围内，系统的平衡状态是稳定的。 若另取al，~ 2 (l一二，xZ)2 一xf (1一x:x:)2 ，己21= xl (l一x，xZ)2 ，则可求得另一个v函数宕氛-、式，约 束条件为1一xlxZ>o，比前一个还好。 b一anl一ong一t一dufo 变t一梯度法(variable一gradient method) 对非线性系统云一f(x)，毁消了(0)~0选择李雅普诺夫 函数的一种方法。 令v(x)为一备择的李雅普诺夫函数(见李稚普诺 夫方法)，V(x)可表示为 弃.那.弃. V(x)=于x，+升x:+…+笋x，(l) axl一‘’axZ一‘’‘肚一” X XX 陌以尸|阮 一一 「“ 人，、、，，，、}刁 ‘g、·，一‘rad“气‘纤庆知，一} 口 V/ax， V/a xZ 月 X 日 .…Z了 V 于是，式(1)可写作 v(x)一比(x)」T毖 对上式两边积分，可得李雅普诺夫函数 (3) V‘x，一上罕d: 一J;「:(·)〕·瓮d， 一{:仁，‘X，〕T“ (4) 这是从状态空间原点到一任意点(x，，xZ，…，x，)的 线积分。由式(3)有比(x)〕Tdx二dV(x)，式(4)中 的积分与积分路径无关。最简单的积分路径是沿状态 向量x的诸分量方向(xl，xZ，…，x二)顺序进行式 (4)中积分的计算，即 v(X)一{;〔:(X):·‘X一{:’、1(“1，。，…，。)‘“】 +J:292‘Xl，6z，0，差衫一O，d“2+… 5)并一必 +{;”g。(Xl，XZ，X3，··一氏，d氏 于是，变量一梯度法工作就要选择一向量函数g(x) 将这一函数按式(5)积分以获得标量函数V(x)。 连续向量g(x)要作为一标量函数v(x)的梯度， 须有 ag丫ax，二七i/ax，;i，j二l，2，…，n 构造一李雅普诺夫函数的步骤如下. (l)对于梯度向量g(x)，先假设为如下形式 (6) 、声 ，口 『圣|lseleees!welJ了‘ g(x)= g一(x) 92(x) allxl十a12x:+ aZxx一十a22x2+ …十alox。 …十凡。x。 (x) a.aXz +a，Zx:+…十a，x。 a‘，待选，可以是常数，也可以是状态变量和，的函数， 选常数较为方便。 (2)经式(3)构造亡，选诸。。使它负定，至少负 半定。 (3)确定其他的a。，以满足式(6)。 (4)校核V，因为步骤(3)可能改变了它的符号 确定性。 (5)用式(5)积分以确定Vo (6)确定系统的平衡状态稳定的范围。 例如用变量一梯度法构造下述系统的李雅普诺夫 函数:x，二一x，十Zx知:沂:二一x:，则首先设V的 梯度为 「al，x;+a::x:门 g、x，=I、。l ‘a21xl叫宁乙工ZJ 于是 试取 2式。 V=(a、、x、+a，2x2)云:+(a21xl+Zx:)坛2 =一allxl+Za，，xlxZ一a】Zx，xZ 十ZalZ式式一吸lxlx:一Zx落 a，，一1，a，:=aZ，=o，则V=一x璧(z一Zx:x:)一 若1一Zx】xZ>0，则亡负定，这就是约束条件。 这时，:(二)一「亡1〕，、，/、2一agZ/、，一。，满足式 ‘乙XZ目