正多面体有几种？

正多面体有几种？

正多面体

的种数很少。多面体可以有无数，但正多面体只有正四面体

、正六面体、正八面体、正十二面体

、正二十面体五种。

证明

顶点数V，面数F，棱数E

设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面共用一条棱），即

nF=2E -------------- ①

同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即

mV=2E -------------- ②

由①、②，得

F=2E/n, V=2E/m,

代入欧拉公式

V+F-E=2，

有

2E/m+2E/n-E=2

整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整数

，所以1/E>0。因此

1/m+1/n>1/2 -------------- ③

说明m,n不能同时大于3，否则③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m≥3且n≥3。因此m和n至少有一个等于3

当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以n只能是3，4，5

同理n=3，m也只能是3，4，5

所以有以下几种情况：

n m 类型

3 3 正四面体

4 3 正六面体

3 4 正八面体

5 3 正十二面体

3 5 正二十面体

由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体

所以正多面体只有5种